Отримано 23.01.2024, Доопрацьовано 25.04.2024, Прийнято 30.05.2024

Використання системи Maple в математичних задачах криптографії. Повідомлення 1. Елементарна теорія чисел

Володимир Михалевич, Леонід Майданевич

На основі аналізу літературних джерел зроблено висновок про актуальність використання середовища системи комп’ютерної математики Maple з метою створення програмного забезпечення для проведення наукових досліджень та створення навчально-методичнх матеріалів з розв’язання типових математичних задач криптографії. Зазначено, що найбільш відомий та поширений криптографічний алгоритм з відкритим ключем RSA базується на низці задач елементарної теорії чисел, що можуть бути розв’язані за допомогою стандартних засобів системи Maple. В цій роботі розглянуто вказані стандартні команди з демонстрацією прийомів їх застосування на спеціально розробленх прикладах. Розглянуто команди для розв’язання задач за такими розділами, як подільність цілих чисел, прості числа; найважливіші функції в теорії чисел: функції виділення цілої та дробової частин числа та мультиплікативні функції; конгруенції та системи конгруенцій першого порядку, квадратичні лишки. Наведено простий та ефективний алгоритм і програма визначення за домогою стандартних команд Maple простих чисел Мерсенна. Вказаний алгоритм базується на необхіднійумові простоти чисел Мерсенна. Продемонстровано роботу авторських навчальних Maple-тренажерів обчислення: за розширеним алгоритмом Евкліда; функції Ейлера; символу Лежандра; символу Якобі. Роботу навчального тренажера з обчисення функції Ейлера продемонстровано під час обчислення відповідного значення для простого числа, складеного числа, що є добутком двох простих, складеного числа, що є натуральним степенем простого числа, а також складених натуральних чисел довільної структури. За допомогою фрагментів програмного коду, що можуть бути покладені в основу розробки навчальних тренажерів продемонстровано визначення повної системи найменших невід'ємних лишків; повної системи абсолютно найменших та зведеної системи лишків за простим та складеним модулями

математичні задачі криптографії, теорія чисел, Maple, навчальні Maple-тренажери, алгоритм Евкліда, функція Ейлера, конгруенції, квадратичні лишки, символ Якобі
105-118
Mykhalevych, V., & Maidanevych, L. (2024). Use of the Maple system in mathematical problems of cryptography. Part 1. Elementary theory of numbers. Information Technologies and Computer Engineering, 21(1), 105-118. https://doi.org/10.31649/1999-9941-2024-59-1-105-118

Використані джерела

[1] Khoroshko, V.O., Azarov, O.D., Shelest, M.E., Andreev, V.I., Mukhachyov, V.A., Shcherbina, V.P., & Yaremchuk, Yu.E. (2003). Computer cryptography. Laboratory practice. Kyiv: NAU.

[2] Hulak, H.M., Mukhachov, V.A., Khoroshko, V.O., & Yaremchuk, Yu.E. (2011). Fundamentals of cryptographic protection of information. Vinnytsia: VNTU.

[3] Kvyetny, R.N., Tytarchuk, E.O., & Gurzhii, A.A. (2016). Method and algorithm of key exchange among groups of users based on asymmetric ECC and RSA ciphers. Information Technologies and Computer Engineering, 3, 38-43.

[4] Luzhetsky, V.A., Voytovych, O.P., & Dudatiev, A.V. (2009). Information security: A study guide. Vinnytsia: UNIVERSUM-Vinnytsia.

[5] Luzhetsky, V.A., & Baryshev, Yu.V. (2011). Methods of multi-channel controlled hashing for computer cryptography. Information Technologies and Computer Engineering, 1, 66-72.

[6] Mikhalevich, V.M., Tyutyunnyk, O.I., & Korinny, O. (2022). Educational Maple simulator for calculations based on Euclid’s extended algorithm. In Proceedings of the All-Ukrainian scientific and methodological conference “Modern scientific and methodological problems of mathematics in of higher education (pp. 80-83). Kyiv: NUHT.

[7] Luzhetsky, V.A., Myhalevich, V.M., Myhalevich, O.V., & Kaplun, V.A. (2010). The density of filling a series of natural numbers with terms of a separate inverse sequence of the second order. Information Technologies and Computers Computer Engineering, 1, 46-51.

[8] Dobranyuk, Yu.V., Mikhalevich, V.M., Kolomiets, A.A., & Kozak, O.M. (2022). Application of Maple SCM for construction of 3D graphs in problems of calculating the volume of figures. Information Technologies and Computer Engineering, 2, 115-123.

[9] Mikhalevich, V.M., & Abramchuk, I.V. (2021). Maximum accumulated strain for linear two-link triangle-like deformation trajectories. International Applied Mechanics, 57(6), 720-736. doi: 10.1007/s10778-022-01121-w.

[10] Cheung, Y.L. (1996). Learning number theory with a computer algebra system. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 3(27), 379-385. doi: 10.1080/0020739960270308.

[11] Klima, R., Sigmon, N., & Stitzinger, T. (2000). Applications of abstract algebra with Maple. Boca Raton: CRC Press.

[12] Baligaand, A., & Boztas, S. (2001). Cryptography in the classroom using Maple. In W. Yang, S. Chu, Z. Karian & G. Fitz-Gerald (Eds.), Proceedings of the sixth Asian technology conference in mathematics (pp.343-350). Melbourne: RMIT.

[13] Mikhalevich, V.M. (2005). Excel-VBA-Maple problem generation program for mathematical disciplines. Information Technologies and Computer Engineering, 2, 74-83.

[14] Mikhalevich, V.M., Dymnich, I.V., & Mykhalevich, O.V. (2007). Protection of Maple procedures. Information Technologies and Computer Engineering, 3(10), 159-165.

[15] Bedratyuk, L.P., & Bedratyuk, G.I. (2013). Using the Maple computer algebra system in elementary number theory. Eastern European Journal of Advanced Technologies, 6(4), 10-13.

[16] Bedratyuk, L.P., & Bedratyuk, G.I. (2015). The use of the Maple computer algebra system in classical cryptosystems. Bulletin of the Khmelnytskyi National University, 231(6), 148-153.

[17] Mikhalevich, V.M., Tyutyunnyk, O.I., Dremlyuga, E.S., & Medvedeva, K.V. (2021). Mathematical models and software tools for generating pseudorandom sequences for cryptographic applications. In L scientific and technical conference of the faculty of information sciencesof technology and computer engineering. Vinnytsia: VNTU.

[18] Mikhalevich, V.M., Rogachevskii, D.B., Zhelnytskyi, D.Yu., & Balukh B.A. (2022). Educational Maple simulator for calculating the Euler function. In LI scientific and technical conference of the faculty of information technologies and computer engineering. Vinnytsia: VNTU.

[19] Stasiuk, M. (2021). Elements of the mathematical foundations of cryptography. Lviv: LSU BZD.

[20] Ogloblina, O.I., Sushko, T.S., & Shramko, Yu.V. (2015). Elements of number theory. Sumy: Sumy State University.

[21] Kozhukhivskyi, A.D., Horbenko, I.D., Haydur, G.I., Kozhuhivska, O.A., & Marchenko, V.V. (2021). Mathematical methods of cryptology. Kyiv: SUT.