Розрахунок тривимірних стаціонарних потенціальних теплових полів методом скінченних елементів
Володимир Карашецький, Володимир ЯркунУ статті описано чіткий алгоритм формування системи нелінійних алгебраїчних рівнянь виходячи з мінімуму функціонала для розрахунку розподілу температури в тривимірній області з безгістерезисними нелінійними анізотропними середовищами. Сформульовано краєву задачу розрахунку тривимірного стаціонарного потенціального температурного поля. Побудовано скінченно-елементну модель розрахунку розподілу температури всередині тривимірної області, заповненої безгістерезисними нелінійними анізотропними середовищами. Виведені основні формули методу скінченних елементів для краєвої задачі розрахунку тривимірних стаціонарних потенціальних теплових полів в областях з безгістерезисними нелінійними анізотропними середовищами використовуючи лагранжеві тетраедри 1 – 4 порядків в якості скінченних елементів, та кубатурні формули чисельного інтегрування за об’ємом лагранжевого тетраедра. Запропоновано алгоритм визначення вкладу скінченного елемента у вектор нев’язок та матрицю Якобі нелінійної системи рівнянь, яку розв’язують методом Ньютона використовуючи елементи тензора диференціальної теплопровідності середовища. Застосовано кубатурну формулу чисельного інтегрування за об’ємом лагранжевого тетраедра на базі інтерполяційного повного поліному для лагражевого тетраедра першого порядку. Даний алгоритм придатний при використанні лагранжевих скінченних елементів другого, третього та четвертого порядків із застосуванням відповідних кубатурних формул чисельного інтегрування за об’ємом лагранжевого тетраедра. Наведено формули для обчислення тензорів диференціальної теплопровідності для нелійного ізотропного та лінійного середовищ. Описані граничні умови Діріхле (першого роду), Неймана (другого роду), третього і четвертого роду та їх врахування
Використані джерела
[1] Khalesidoost, S., Faiz, J., & Mazaheri, E. (2022). An overview of thermal modelling techniques for permanent magnet machines. IET Science, Measurement & Technology, 16(4), 219-241. doi: 10.1049/smt2.12099.
[2] Prajwal, K.T., & Bhat, P. (2021). Thermal analysis of a Thermoelectric Generator (TEG) using FEM technique. In First international conference on electrical energy and power engineering (ICEEPE 2020). IOP conference series: Materials science and engineering (Vol. 1045, article number 012018). Penang: IOP. doi 10.1088/1757-899X/1045/1/012018.
[3] Petresevics, F., & Nagy, B. (2022). FEM-based evaluation of the point thermal transmittance of various types of ventilated façade cladding fastening systems. Buildings, 12(8), article number 1153. doi: 10.3390/buildings12081153.
[4] Jindra, D., Hradil, P., Kala, J., & Salajka, V. (2020). Nonlinear FEM analysis οf composite concrete slab exposed τo extreme thermal load. In International conference of numerical analysis and applied mathematics ICNAAM 2019 (Vol. 2293, article number 130018). doi: 10.1063/5.0026880.
[5] Ponsati, T.L., Bahman, A.S., & Iannuzzo, F. (2021). Thermal modeling of large electrolytic capacitors using FEM and considering the internal geometry. In IEEE Journal of Emerging and Selected Topics in Power Electronics, 9(5), 6315-6328. doi: 10.1109/JESTPE.2021.3089899.
[6] Boukounacha, A.Y., Zegnini, B., Belkacem, Y., & Tahar, S. (2023). The effect of temperature on the thermal conductivity of transformer oils using the finite element method. In 1st international conference on materials sciences and applications (ICMSA2023) (article number 444816). Khenchela: ICMSA.
[7] Silvester, P.P., & Ferrari, R.L. (1996). Finite elements for electrical engineers. Cambridge: Cambridge University Press. doi: 10.1017/CBO9781139170611.
[8] Gallagher, R.H. (1975). Finite element analysis. Fundamentals (1st ed.). Victoria: Pearson College Div.
[9] Segerlind, L.J. (1984). Applied finite element analysis. Hoboken: J. Wiley & Sons
[10] Silvester, P., Cabayan, H.S., & Browne, B.T. (1973). Efficient techniques for finite element analysis of electric machines. – IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, PAS-92(4), 1274-1281. doi: 10.1109/TPAS.1973.293811.
[11] Dyshovyi, R.V. (1983). Calculation of the static magnetic field in implicit-pole electric machines by the differential grid method. (Abstract of Doctoral dissertation, Lviv Polytechnic National University, Lviv, Ukraine).
[12] Karashetsky, V.P. (2007). Cubature formulas for numerical integration over the volume of a tetrahedron based on interpolating full polynomials. Scientific Bulletin of the National Technical University of Ukraine, 17(6), 258-264.
[13] Yushko, S.V, Borshch, O.E., & Yushko, M.A. (2011). Stationary thermal conductivity. Kharkiv: NTU “KhPI”.